フーリエ級数展開@複素数表示

参考文献及びWEB

参考文献

(1)「ディジタル信号処理技術」玉井徳みち、長島厚、藤田泰弘、若井修造著日経BP社
(2)「ディジタル信号処理の基礎」三上直樹著 CQ出版
(3)「C言語によるディジタル信号処理入門」三上直樹著 CQ出版
(4)「アナログ&ディジタルフィルタ入門」小野浩司著日刊工業
(5)「フーリエの冒険」ヒッポファミリークラブ
(6)「C言語で始める医用情報処理」小高知宏著 Ohmsha
(7)「量子力学の冒険」ヒッポファミリークラブ
(8)「最新ウェーブレット実践講座」戸田浩、章忠、川畑洋昭著 SoftBankCreative社

あわせて読む

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開の式はこうでした。

f( t+T) = f(t)

$f(t) = a_0+ \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos n\omega t + b_n \sin n\omega t)$ (1-1)

ここで、

$a_{0} = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t) dt$ (1-2)

$a_{n} = \frac{2}{T}\int_0^{T} f(t)\cos n\omega t dt$ $n=1,2,\cdots$ (1-3)

$b_{n} = \frac{2}{T}\int_0^{T} f(t)\sin n\omega t dt$ $n=1,2,\cdots$ (1-4)

意味:周期のある複雑な波f(t)は単純な波の足し合わせで表すことができる

複素級数展開の式は、

$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{in\omega t}$ (2-11)
$A_n = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t}dt$ $n=1,2,\cdots$ (2-6)

となります。これを以下で説明します。

フーリエ級数複素数表示

オイラー公式

ではまずオイラーの公式を思い出してください。

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$
$e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$

この式を変形すると

$\cos\theta = \frac{ e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ (2-1)
$\sin\theta = \frac{ e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2}$ (2-2)

となります。
では f(t) を変形してみましょう。

$f(t) = a_0+ \sum_{n=1}^{\infty}\Big( \frac{a_n}{2} (e^{i n\omega t} + e^{-i n\omega t}) + \frac{b_n}{2i} (e^{i n\omega t} - e^{-i n\omega t}) \Big)$

$= a_0+ \sum_{n=1}^{\infty}\Big( \frac{a_n}{2} e^{i n\omega t} + \frac{a_n}{2} e^{-i n\omega t} + \frac{b_n}{2i} e^{i n\omega t} - \frac{b_n}{2i} e^{-i n\omega t} \Big)$

$= a_0+ \sum_{n=1}^{\infty}\Big( \frac{1}{2}(a_n - ib_n)e^{in\omega t} + \frac{1}{2} (a_n + ib_n)e^{-in\omega t} \Big)$ 　(2-3)

次にanを展開してみます。

$a_{n} = \frac{2}{T}\int_0^{T} f(t)\cos n\omega t dt$ $n=1,2,\cdots$ (1-3)

$= \frac{2}{T}\int_0^{T} f(t)\frac{1}{2}(e^{i n\omega t} + e^{-i n\omega t}) dt$

$= \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{i n\omega t}dt + \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t} dt$ (2-4)

次にbnを展開

$b_{n} = \frac{2}{T}\int_0^{T} f(t)\sin n\omega t dt$ $n=1,2,\cdots$ (1-3)

$= \frac{2}{T}\int_0^{T} f(t)\frac{1}{2i}(e^{i n\omega t} - e^{-i n\omega t}) dt$

$= \frac{1}{i}\Big( \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{i n\omega t}dt - \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t} dt \Big)$

$ib_{n} = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{i n\omega t}dt - \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t} dt$ (2-5)

まとめてみます。

$a_{n} = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{i n\omega t}dt + \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t} dt$ (2-4)
$ib_{n} = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{i n\omega t}dt - \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t} dt$ (2-5)

足し算　引き算をしあらたに A_n , B_n と名前をつけます。

$A_n = \frac{1}{2}(a_n -ib_n) = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t}dt$ (2-6)

$B_n = \frac{1}{2}(a_n +ib_n) = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{i n\omega t}dt$ (2-7)

(2-3)に(2-6),(2-7)を代入すると

$f(t) = a_0+ \sum_{n=1}^{\infty}\Big( A_n e^{in\omega t} + B_n e^{-in\omega t} \Big)$ 　(2-8)

$A_n = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t}dt$ (2-6)

$B_n = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{i n\omega t}dt$ (2-7)

(2-8) f(t) を分解します。

$f(t) = a_0+ \sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{in\omega t} + \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-in\omega t}$ 　(2-9)

ここで第2項がn=0の時どうなるか見てましょう。

$A_0 = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{0}dt = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)dt = a_0$

ということは？

$f(t) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n e^{in\omega t} + \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-in\omega t}$ 　(2-10)

となります。次にBnを見ています。増分に-を付けてみると

$f(t) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n e^{in\omega t} + \sum_{n=-1}^{-\infty} B_{(-n)} e^{-i(-n)\omega t}$
$f(t) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n e^{in\omega t} + \sum_{n=-1}^{-\infty} B_{(-n)} e^{in\omega t}$

ところでBnは
$B_n = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{i n\omega t}dt$ (2-7)

なので
$B_{(-n)} = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t}dt = A_n$

つまり、
$f(t) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n e^{in\omega t} + \sum_{n=-1}^{-\infty} A_n e^{in\omega t}$
$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} A_n e^{in\omega t}$ (2-8)

で波が表されることが分かります。

A_n は, a_0 , B_n を含んでいるので、あらたに C_n と名づけましょう。
C_n = A_n です。

するとフーリエ級数展開式は

$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{in\omega t}$ (2-11)
$A_n = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t}dt$ (2-6)

となります。