複素数

極形式

複素数 z

z = a + jb (aとbは実数)

共役複素数 z^*

z^* = a - jb

複素数の極座標形式は以下となる。

複素数の絶対値|z|は、

z z^* = (a+jb)(a-jb) = a^2 + b^2

より

$|z| = \sqrt{z z^* }$

また
z = a + jb
$= |z|\cos\varphi + j|z|\sin\varphi$
$= |z|(\cos\varphi + j\sin\varphi)$

また
$\tan\varphi = \frac{b}{a}$
なので
$\varphi = \arctan{\frac{b}{a}}$
となる。

この $\varphi$ は、複素平面上で偏角と呼ばれる。

注意！
$\arctan$ が返す値は、 $-\pi/2 \sim \pi/2$ だが、
複素数では、 $-\pi \sim \pi$

例題　z= 1+j を極形式で表す

$|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
$\varphi = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$

ゆえに

$z = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + j\sin\frac{\pi}{4})$

オイラーの公式

$e^{j\varphi} = \cos\varphi + j\sin\varphi$ (eは自然対数の底)

■ $\cos\varphi , \sin\varphi$ のもとめかた

$e^{j\varphi} = \cos\varphi + j\sin\varphi$ (1)
$e^{-j\varphi} = \cos\varphi - j\sin\varphi$ (2)

(1) + (2)

$2\cos\varphi = e^{j\varphi} + e^{-j\varphi}$
$\cos\varphi = \frac{e^{j\varphi} + e^{-j\varphi}}{2}$

(1) - (2)

$2\sin\varphi = e^{j\varphi} - e^{-j\varphi}$
$\sin\varphi = \frac{e^{j\varphi} - e^{-j\varphi}}{2}$

オイラーの公式による極形式

z = a + jb
$|z| = \sqrt{( a^2 + b^2 )}$
$\varphi = \arctan{\frac{b}{a}}$

$z = |z|(\cos\varphi + j\sin\varphi)$ (1)

(1)は、

$z = |z|e^{j\varphi}$ (2)

$a + jb = \sqrt{a^2 + b^2} e^{j\tan^{-1 \frac{b}{a} }} = |z|e^{j\varphi}$

$e^{j\varphi}$ の絶対値

$|e^{j\varphi}| = \sqrt{\cos^{2}\varphi + \sin^{2}\varphi} = 1$

$|e^{j\varphi}| = \sqrt{e^{j\varphi}(e^{j\varphi})^{*}} = \sqrt{e^{j\varphi}(e^{-j\varphi})}=1$

$z = \frac{ a + jb }{ c + jd }$ をオイラーの公式を用いて表す。

$a + jb = \sqrt{a^2 + b^2} e^{j\tan^{-1 \frac{b}{a} }}$
$c + jd = \sqrt{c^2 + d^2} e^{j\tan^{-1 \frac{d}{c} }}$

なので

$z = \frac{ a + jb }{ c + jd }$
$= \frac{ \sqrt{a^2 + b^2} e^{j\tan^{-1 \frac{b}{a} }} }{ \sqrt{c^2 + d^2} e^{j\tan^{-1 \frac{d}{c} }} }$
$= \frac{ \sqrt{a^2 + b^2} }{ \sqrt{c^2 + d^2} } \cdot e^{j\tan^{-1 \frac{b}{a} }} e^{-j\tan^{-1 \frac{d}{c} }}$
$= \frac{ \sqrt{a^2 + b^2} }{ \sqrt{c^2 + d^2} } \cdot e^{j (\tan^{-1 \frac{b}{a} } - \tan^{-1 \frac{d}{c} })$